BITÁCORA 7, ENIGMÁTICA MATEMÁTICA

RAZÓN DORADA

La geometría es tan amplia y tan práctica que no deja de sorprender con sus secretos y enigmas así como con sus aplicaciones. Una de las maravillas que nos ofrece es la razón dorada o también conocida como número áureo, número dorado, razón áurea, media áurea, proporción áurea o divina proporción. Es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que  "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b. El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498..., dicho número está representado por la letra griega φ (fi), en honor al escultor griego Fidias.

Casi 2000 años más tarde, en 1525, Alberto Durero publicó su “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”, en la que describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, la misma que hoy conocemos como “espiral de Durero”. Casi todas las espirales que aparecen en la naturaleza, como en el caso del girasol o las piñas de los pinos poseen esta relación áurea.

                     

Leonardo Fibonacci, descubrió la serie que nos lleva a phi. En el siglo XII, Leonardo Fibonacci descubrió una serie numérica simple que es la base de la increíble relación que encontramos detrás de phi. Empezando con 0 y 1, cada número de la serie es simplemente la suma de los dos anteriores. Por lo tanto, la serie queda construida de la siguiente manera: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

La razón (proporción) de cada par sucesivo de números en la serie se aproxima a phi (1.618...). Así es como si dividimos 5 entre 3 obtenemos 1.666..., y 8 entre 5 da 1.60. En la medida en la que vayamos más lejos del 0 (punto de inicio de la secuencia), más nos acercamos al valor de phi.

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).

¿Por qué es tan importante éste valor matemático? Posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático, en los sitios más dispares dándole un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura y el arte. Por ejemplo, el Hombre de Vitruvio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un ideal de belleza, está proporcionado según el número áureo. También el rostro de la Mona Lisa encierra un “rectángulo dorado” perfecto. Obviamente, Leonardo no fue el único en utilizar esta proporción en su obra. Miguel Ángel, por ejemplo, hizo uso del número áureo en la impresionante escultura El David, desde la posición del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos. La proporción aurea se encuentra en las espirales del interior de los caracoles. En la arquitectura la relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos consientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación. ¿No es asombroso?

¿Cómo podemos notar de manera sencilla esta maravilla matemática y la belleza en todo lo que nos rodea?

En esta nueva sesión de geometría aprendí algo inusual: la belleza se puede medir. Y para poder hacerlo es necesario realizar un instrumento de medición, un compás dorado. Pa ello es necesario seguir el proceso de construcción:

1.    Traza un segmento de recta AB

2.    Encuentra el punto medio del segmento (C).

3.    Traza una perpendicular a la recta AB, a partir del punto B.

4.    Haciendo centro en el punto medio de este segmento (C) y tomando como extremo B traza un circulo con radio CB que corte a la perpendicular en el punto D.

5.    Une los puntos AD mediante un segmento, éste será la hipotenusa del triángulo rectángulo.

6.    El punto donde la hipotenusa o segmento AD corta la circunferencia, se nombra E.

7.    Haciendo centro en A y como extremo E, traza una segunda circunferencia de radio AE.

8.    El punto donde ésta segunda circunferencia corta al segmento AB, se nombra F, y es el punto que buscamos para realizar nuestro compás.

9.    Una vez encontrado ese punto trazamos dos segmentos AB en una superficie resistente, puede ser plástico o cartón grueso y ubicamos el punto F en ellos para unir los dos segmentos mediante una chincheta, así es como terminamos nuestro compás y podemos utilizarlo para saber si un objeto tiene la razón dorada.

                  

Observemos entonces cómo se da la proporcionalidad de los objetos.
                                     

Al medir el lado más grande del celular y compararlo con el lado menor observamos que la abertura del compás no cambia, se mantiene, cumpliendo así con la proporción dorada.

Esto, como ya dijimos tambien ocurre en la arquitectuta.

                          

                                

                                 

                         

 

                            

Las figuras que están “proporcionadas” según el número áureo nos resultan más agradables. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega, lo cierto es que a lo largo de la historia se ha utilizado para “embellecer” muchas obras.


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
http://www.psicogeometria.com/matematica.html
http://www.neoteo.com/numero-aureo-belleza-matematica

BITÁCORA 5, CALIDOCICLO

 Al iniciar esta nueva sesión me preguntaba qué era un calidociclo, nunca creí que me quedaría tan sorprendida al finalizar el trazado y su construcción. Al indagar un poco comprendí por qué es tan fascinante.

La palabra calidociclo o caleidociclo proviene del griego kalos (bellos), eîdos (figuras) y kîklos (anillo). Es un anillo geométrico tridimensional, articulado por pirámides unidas por sus aristas. Pueden giran sobre sí mismos indefinidamente sin romperse ni deformarse en torno a su centro. Al principio se me complico su elaboración, pero ya después en una segunda construcción me pareció muy sencilla debido a la práctica.

Los calidociclos son figuras geométricas dignas de admirarse puesto que nos permiten desarrollar la creatividad, la imaginación y la sensibilidad geométrica; estas figuras son una muestra más de que la geometría puede está presente en diferentes ámbitos de la vida cotidiana y que podemos servirnos de ella, como por ejemplo en el diseño gráfico, la mercadotecnia o publicidad, como material didáctico, de composición y diseño gráfico, industrial o arquitectónico, así como en el arte.

Cabe señalar que los Caleidociclos forman parte de una disciplina que se llama Arquitectura de papel y que los ejemplos más conocidos de calidociclos son los que están formados por tetraedros.

http://www.grupoalquerque.es/ferias/2010/archivos/pdf/caleidociclo.pdf

BITACORA 4, GEOMETRÍA, SOLEDAD SÁNCHEZ ROCHA

Lo que me sorprende es lo divertida que puede ser la geometría, pero también los secretos que guarda en sus formas, teoremas y aplicaciones.

En esta semana el trabajo fue trascendente para mí, el simple hecho de tomar una fotografía matemática me permitió analizar algo que si bien ya he tenido presente, ahora he reafirmado, me refiero al hecho de saber que las matemáticas están en nuestra cotidianeidad, que con sólo voltear a ver nuestro alrededor podemos confirmar una y otra vez que estamos rodeados de matemáticas: geometría, mediciones, formas, números y problemas o necesidades de nuestra vida diaria que se ven resueltas matemáticamente; pero esto no fue todo, sino que además la aplicación del teorema de Tales de manera más real fue excelente, el único detalle que tuve en esta actividad fue el tiempo y la disposición de otra persona que me ayudo a tomarme la foto junto a un árbol para calcular su altura, sin embargo, está claro que aportó mucho a mi comprensión de dicho teorema, y si consideramos que Tales de Mileto  fue un ingenioso personaje histórico que no contaba en su época con la tecnología que actualmente tenemos para tomar una fotografía y obtener por proporcionalidad la altura de cualquier objeto, sino el tener que echar mano de muchas más habilidades y actitudes matemáticas como la observación, la tenacidad y la creatividad para usar la sombra del propio objeto, es decir de las pirámides de Egipto, pues entonces no hay nada que lamentar  ante la facilidad de nuestra actividad, ya que aprendí mucho y me agrado la aplicación vivencial del teorema.

En lo que respecta a las disecciones quiero decir que quede encantada puesto que nunca pensé que una figura al dividirla y formar otra con la misma superficie (cuadrado - rectángulo) nos engañara con una área diferente a la inicial, es una paradoja que me confundió pero que al final me dejo totalmente sorprendida; cada vez hay algo nuevo que me deja esa sensación en la geometría, aún hay mucho que saber, pero mi pregunta en este momento es ¿por qué estos conceptos básicos de la geometría no han sido introducidos en la currícula  de educación básica?

Está visto que actividades como éstas constituyen retos matemáticos que pudieran ser desarrollados como juegos didácticos desde preescolar y primaria, y fortalecer el análisis, la imaginación y el pensamiento abstracto en el adolescente de secundaria.

ÁGORA

En esta película Alejandro Amenábar nos transporta históricamente a finales del siglo IV, en Alejandría, donde se desarrolla una lucha ideológica entre cristianos y paganos; en medio de toda esta destrucción descubrimos a la protagonista, Hipatia, la primera mujer matemática, filósofa y astrónoma, quien daba clases a sus discípulos en la biblioteca. Dos de sus discípulos, Orestes y Davo, se enamoran de ella sin ser correspondidos, porque ante un contexto religioso, político y social tan complicado, Hipatia sólo podía dar su amor al conocimiento y luchaba cada día por demostrar el movimiento que rige nuestro sistema solar.

Al rebelarse los cristianos destruyen la biblioteca, templo de la sabiduría, y toman la ciudad, obligando a los paganos a bautizarse en su fe e interpretando además, que Jesucristo nunca confió en las mujeres,  ni en sus opiniones,  así que no tendrían que ser tomadas en cuenta;  de esta manera, buscan a Hipatia, considerando que su conocimiento no era más que paganismo, al negarse ella a convertirse al cristianismo, a ser bautizada, y a renunciar al conocimiento, la filosofía y la ciencia, la acusan de bruja y se convierte en una víctima, ya que es despojada de sus vestiduras y asesinada por Davo, quien la asfixia para evitarle el sufrimiento que recibiría después con las pedradas de los monjes.

Esta película me agrado mucho puesto que rescata para nosotros y para la historia un personaje muy importante, que muchos desconociéramos, Hipatia y sus diversas aportaciones a la ciencia, como sus estudios referidos al heliocentrismo. También me pareció una excelente película debido a que nos hace reflexionar acerca del papel que ha tenido la mujer y lo difícil que ha sido su integración al mundo de la ciencia y el conocimiento; pero naturalmente no se trata de inclinarnos a una tendencia feminista, sino más bien a analizar que la lucha entre la ciencia y la religión, por mucho tiempo llevo a la destrucción no sólo de ciudades y templos, sino también a la autodestrucción del ser humano. Lo anterior como resultado del fanatismo  y la intolerancia fundamentada en una religiosidad oscurantista,  que a lo único a lo que nos ha conducido es al estancamiento social, político, cultural y económico, por ello es conveniente concluir que el desarrollo, la libertad y el progreso de la humanidad requiere indispensablemente de la razón, el saber y sobre todo de la tolerancia.

FOTOGRAFÍA A ESCALA - TEOREMA DE TALES

El teorema de Tales de Mileto enuncia que: “Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes”.

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí.

Por lo tanto, si en el ▲abc se traza una paralela a uno de sus lados, en este caso el lado bc, y su paralela de, entonces: el ▲abc es semejante al ▲ade.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales

BITÁCORA 3, GEOMETRÍA, SOLEDAD SÁNCHEZ ROCHA

“La geometría es el arte de razonar bien sobre figuras mal hechas”

Esta frase de la segunda sesión de Geometría me recuerda a mis construcciones y trazo de axiomas porque de tanto trazar una, otra y otra línea, llegaba un momento en que ya no entendía ni yo misma mis propios trazos, pero quiero decir que fue muy divertido, en lo personal siempre me ha gustado trazar, dibujar y todo lo que tiene que ver con el diseño o la representación de objetos.

La geometría me está enseñando mucho, y es que haciendo referencia a la frase inicial, figuras que ante nuestros ojos son mal hechas o no le encontramos ni pies ni cabeza, para geometría son perfectas, ¡claro que son perfectas!, de ahí que el arte se ha valido de esta rama de las matemáticas para crear estética, proyecciones y formas que nos seducen.

Estoy recordando mucho y aprendiendo nuevas cosas, como aquello de los teoremas de tales y del paralelismo, acerca de la importancia de la proporcionalidad geométrica para resolver problemas desde la antigüedad; me sorprende mucho la capacidad de los primeros personajes que hicieron geometría, porque ellos sí que razonaban muy bien a partir de algo tan sencillo. Otra situación que me agrado de la clase es el hecho de trazar a mano, es decir sobre papel, con lápiz, escuadras, compás, recortar, en fin, me gusta manipular y esto me hace reflexionar de que mis alumnos también tienen derecho a hacerlo ya sea de manera digital o manual, puesto que en ocasiones no le damos la gran importancia que tiene a la geometría y no damos el tiempo necesario para trazar, deducir, y manipular dentro de la clase… debemos entender que si en verdad queremos razonar, y que nuestros alumnos razonen, debemos brindar espacios para una geometría dinámica, en la que nuestros alumnos, comprendan los por qué de las fórmulas geométricas o trigonométricas para resolver problemas y no sólo reproduzcan mecanismos.

La geometría nos ofrece mucho más, por lo anterior deberíamos preguntarnos: si la geometría es dinámica, ¿Por qué no hacerla así dentro de nuestro salón de clases? ¿Qué recursos didácticos o materiales nos hacen falta?

LOS PRIMEROS GEÓMETRAS

La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, tiene sus orígenes con los primeros pictogramas que traza el hombre primitivo para clasificar lo que le rodeaba según su forma, así es como comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la geometría; sin embargo, tiempo después  se inventó como tal la  geometría en el antiguo Egipto y la enseñaron a los griegos. Los egipcios aportaron formulas o algoritmos para calcular volúmenes, áreas y longitudes con la finalidad de calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición'. El conocimiento geométrico de esta civilización paso a la cultura griega con Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.

En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras formalizó la geometría científica al desarrollar por primera vez demostraciones como justificación de la veracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).

Tales de Mileto fue el primero en calcular la altura de las Pirámides de Egipto. Para ello midió su propia altura, y en el preciso momento en el que su sombra medía exactamente la misma cantidad, mandó a marcar la sombra del vértice de la Gran Pirámide. De esa forma pudo calcular exactamente cuál era su altura. También se le atribuye la predicción de un eclipse solar.

En el desarrollo de esta ciencia Aristóteles crea la lógica,  que consiste en una demostración de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado tesis. Es así como Euclides, en el siglo III a. C. estableció la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos». Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento en su obra.

Otros personajes destacados son: Eratóstenes a quien se le atribuye la medición del radio de la Tierra, y Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría; inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

El siguiente paso importante en esta ciencia lo dió el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo creó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica.

Un desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. El matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones.  El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

Historia de la Geometría, en línea disponible en:

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.htm

Historia de la geometría, disponible en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_geometr%C3%ADa

BITÁCORA 2, GEOMETRÍA, SOLEDAD SÁNCHEZ ROCHA

EL TRABAJO DE LA SEMANA

El trabajo de la semana me hace recordar una frase: “No puedes hacer algo bien, si antes no lo hiciste mal”. Y es que si rememoramos todo lo que ahora nos sale de maravilla, como el simple hecho de caminar, de escribir, tal vez de dibujar o cualquier  otra actividad en la que nos sentimos muy capaces, caemos en la cuenta de que no siempre fue así, no siempre lo hicimos a la perfección, en el proceso de aprendizaje  tuvimos errores, quizá por momentos nos sentimos frustrados y posiblemente hasta llegamos a creer que no podíamos.

Así fue mi semana de trabajo al principio en cuanto a la construcción y explicación de los axiomas de Euclides, puesto que cuando pensé que ya había hecho mi máximo esfuerzo, caí en la cuenta de que no era así, siempre hay algo más que corregir y mejorar.

Pero así como en otros aprendizajes que hemos adquirido, siempre hay alguien que nos orienta, nos da sugerencias y sobre todo nos alienta a seguir adelante. El trabajo que realicé durante la semana, también he de decir, fue muy exhaustivo, ya que además coincidió con el inicio de ciclo escolar y por consecuencia con un poco de mas trabajo administrativo en mi escuela, de ahí que mis tiempos han sido demasiado justos, pero haciendo a un lado esto, quiero decir que ha sido muy fructífero, saber que tenía errores y la oportunidad para corregirlos me obligo a la investigación, se de antemano que falta mucho por mejorar y aprender, pero una actitud positiva siempre nos ayudará a perfeccionar nuestros aprendizajes o habilidades en el uso de la tecnología.

Por otra parte, también me siento muy satisfecha y agradecida por enseñarnos a utilizar otros medios de comunicación a los que generalmente estamos habituados y mal encaminados, creo que el uso de la tecnología matemática-geométria  y de comunicación complementa y mejora  nuestra formación docente y personal. ¡GRACIAS!!

Pa finalizar, los invito a seguir reflexionando acerca de lo siguiente: ¿Integrar recursos tecnológicos, en el desarrollo de actividades para la enseñanza de la geometría, favorecerá la calidad del aprendizaje de los alumnos?, ¿qué piensas tanto en nuestro papel de alumno como docente?.