BITÁCORA 7, ENIGMÁTICA MATEMÁTICA

RAZÓN DORADA

La geometría es tan amplia y tan práctica que no deja de sorprender con sus secretos y enigmas así como con sus aplicaciones. Una de las maravillas que nos ofrece es la razón dorada o también conocida como número áureo, número dorado, razón áurea, media áurea, proporción áurea o divina proporción. Es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que  "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b. El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498..., dicho número está representado por la letra griega φ (fi), en honor al escultor griego Fidias.

Casi 2000 años más tarde, en 1525, Alberto Durero publicó su “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”, en la que describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, la misma que hoy conocemos como “espiral de Durero”. Casi todas las espirales que aparecen en la naturaleza, como en el caso del girasol o las piñas de los pinos poseen esta relación áurea.

                     

Leonardo Fibonacci, descubrió la serie que nos lleva a phi. En el siglo XII, Leonardo Fibonacci descubrió una serie numérica simple que es la base de la increíble relación que encontramos detrás de phi. Empezando con 0 y 1, cada número de la serie es simplemente la suma de los dos anteriores. Por lo tanto, la serie queda construida de la siguiente manera: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

La razón (proporción) de cada par sucesivo de números en la serie se aproxima a phi (1.618...). Así es como si dividimos 5 entre 3 obtenemos 1.666..., y 8 entre 5 da 1.60. En la medida en la que vayamos más lejos del 0 (punto de inicio de la secuencia), más nos acercamos al valor de phi.

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).

¿Por qué es tan importante éste valor matemático? Posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático, en los sitios más dispares dándole un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura y el arte. Por ejemplo, el Hombre de Vitruvio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un ideal de belleza, está proporcionado según el número áureo. También el rostro de la Mona Lisa encierra un “rectángulo dorado” perfecto. Obviamente, Leonardo no fue el único en utilizar esta proporción en su obra. Miguel Ángel, por ejemplo, hizo uso del número áureo en la impresionante escultura El David, desde la posición del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos. La proporción aurea se encuentra en las espirales del interior de los caracoles. En la arquitectura la relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos consientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación. ¿No es asombroso?

¿Cómo podemos notar de manera sencilla esta maravilla matemática y la belleza en todo lo que nos rodea?

En esta nueva sesión de geometría aprendí algo inusual: la belleza se puede medir. Y para poder hacerlo es necesario realizar un instrumento de medición, un compás dorado. Pa ello es necesario seguir el proceso de construcción:

1.    Traza un segmento de recta AB

2.    Encuentra el punto medio del segmento (C).

3.    Traza una perpendicular a la recta AB, a partir del punto B.

4.    Haciendo centro en el punto medio de este segmento (C) y tomando como extremo B traza un circulo con radio CB que corte a la perpendicular en el punto D.

5.    Une los puntos AD mediante un segmento, éste será la hipotenusa del triángulo rectángulo.

6.    El punto donde la hipotenusa o segmento AD corta la circunferencia, se nombra E.

7.    Haciendo centro en A y como extremo E, traza una segunda circunferencia de radio AE.

8.    El punto donde ésta segunda circunferencia corta al segmento AB, se nombra F, y es el punto que buscamos para realizar nuestro compás.

9.    Una vez encontrado ese punto trazamos dos segmentos AB en una superficie resistente, puede ser plástico o cartón grueso y ubicamos el punto F en ellos para unir los dos segmentos mediante una chincheta, así es como terminamos nuestro compás y podemos utilizarlo para saber si un objeto tiene la razón dorada.

                  

Observemos entonces cómo se da la proporcionalidad de los objetos.
                                     

Al medir el lado más grande del celular y compararlo con el lado menor observamos que la abertura del compás no cambia, se mantiene, cumpliendo así con la proporción dorada.

Esto, como ya dijimos tambien ocurre en la arquitectuta.

                          

                                

                                 

                         

 

                            

Las figuras que están “proporcionadas” según el número áureo nos resultan más agradables. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega, lo cierto es que a lo largo de la historia se ha utilizado para “embellecer” muchas obras.


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
http://www.psicogeometria.com/matematica.html
http://www.neoteo.com/numero-aureo-belleza-matematica