¿Qué es un fractal?
Es una figura espacial o plana, cuya
estructura se repite a diferentes escalas, formada por componentes infinitos producto de la repetición de un proceso
geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación
extraordinaria.
La geometría fractal fue descubierta alrededor del año 1970, por el
matemático polaco Benoit Mandelbrot. El estaba fascinado con los complejos
patrones que veía en la naturaleza, pero no los podía describir por medio de la
geometría euclídea: las nubes no eran esféricas, las montañas no eran conos,
las líneas costeras no eran círculos. Entonces desarrolló el concepto y lo
denominó "fractal", a partir del significado en latín de esta
palabra, que encontró en un libro de texto de su hijo. Fractal significa
"fracturado, fragmentado o quebrado".
De esta manera Benoit Mandelbrot propone la palabra
fractal para designar esa clase de formas y figuras que llaman la atención por
la extraordinaria fragmentación y sinuosidad de sus formas que se repiten a
distintas escalas. Además menciona
que los fractales pueden presentar tres clases diferentes de autosimilitud (que
significa que un mismo patrón se encuentra una y otra vez):
- Autosimilitud exacta, el fractal resulta idéntico
a cualquier escala.
- Cuasiautosimilitud, con el cambio de escala, las
copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas;
- Autosimilitud estadística, el fractal debe tener
dimensiones estadísticas o de número que se conserven con la variación de la
escala.
Algunas otras características de los fractales son:
- Su dimensión fractal, que describe la relación entre los segmentos y la
totalidad. Entre más cercano esté la forma de un fractal a una línea (dimensión
1), a un plano (dimensión 2) o a un objeto tridimensional, más cercano estará
la dimensión fractal al número entero que describe su forma.
- Su área es
finita (tiene límites) pero su longitud es infinita (no tiene límites).
- Son
recursivas. A medida que vamos observando detalles más y más pequeños nos
encontramos con los patrones que teníamos al principio pero a escala menor.
FRACTALES
Existen dos tipos bien definidos de fractales; los lineales y los no lineales.
Los fractales
lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio en la variación
de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractales lineales son exactamente
idénticos en todas sus escalas
hasta el infinito. El triángulo y la alfombra de Sierpinski y la curva de Koch
son ejemplos de fractales lineales.
La curva de
Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de curva de longitud
infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Se
parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en
tres intervalos iguales, construir un triángulo equilátero sobre el intervalo central
y suprimir la base de dicho triángulo, como indica la figura. El segundo paso
de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso
sobre cada uno de los cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el
proceso infinitas veces. La curva de Koch es la curva a la que se van
aproximando las sucesivas poligonales que resultan en cada paso.
El triángulo de Sierpinski
fue ideado porWaclaw Sierpinski en 1915.
Se parte de un
triángulo equilátero de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en cuatro
triángulos equiláteros iguales (lo que se consigue uniendo los puntos medios de
los lados) y eliminar el triángulo central, es decir nos quedamos con los tres
triángulos equiláteros de los vértices. El segundo paso de la construcción
consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de
los tres triángulos obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso
infinitas veces, obteniendo como resultado final el triángulo de Sierpinski.
Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones
complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un término proveniente
de la matemática Caótica, distorsiones no lineales. La mayoría de los objetos
fractales puramente matemáticos y naturales son no lineales. Ejemplos de ellos son:
el súper conocido Conjunto de Mandelbrot o el Conjunto de Julia.
El fractal que yo elegí
para presentar y realizar mi objeto con dicha imagen fractal impresa fue un biomorfo.
Los biomorfos fueron creados por Clifford
Pickover (hacia 1986) a partir de un error de tecleado y Richard
Dawkins combino parámetros en sus modelos de simulación. Los modelos de Dawkins
producen formas seudobiológicas genéricas, con estructura de monigotes
lineales; las funciones de Pickover resultan en organismos unicelulares
identificables: vorticellas, algas verdes, tripanosomas, foraminíferos, plasmodios,
diatomeas; los fractales de este género se conocen como biomorfos y constituyen
una variante de los conjuntos de Julia.
Los biomorfos se generan mediante la iteración de funciones complejas. La
generación de estas formas barrocas es sencilla: partimos de una función
iterativa, al estilo de:
f (zn) = zn+1= z3n+
c ,
donde z es una variable
compleja y c una constante compleja.
Escogemos una región del
plano complejo y tomamos cada punto de esta región como semilla inicial zo
para iterar. Lo iteramos, por
ejemplo, 150 veces con función. A cada iteración controlamos si el módulo del
nuevo z excede en algún momento, por ejemplo, el valor 100. Si esto ocurre,
dejamos de iterar la función inmediatamente y guardamos el valor complejo z0
(el punto del plano) junto con su z alcanzado con el grupo de puntos iniciales
que "se pasan". Si no ocurre, nos quedamos con el valor de z después
de 150 iteraciones asociado a z0.
Conocido el valor de z,
pintamos en función del valor absoluto de su parte real e imaginaria: si alguna
de ellas excede el valor 100 o es igual, pintamos z0 como un punto
blanco, en caso contrario lo pintamos en negro. Una vez hallada la criatura,
basta acotar más su zona (aumentar zoom) y dibujar mejor sus detalles (aumentar
paso) para obtener una imagen más espectacular.
La aplicación de los fractales es muy amplia, en multitud de áreas:
Comunicaciones: Modelado del tráfico en redes
Informática: Técnicas de
compresión (audio y vídeo)
Infografía: Paisajes fractales y
otros objetos
Biología: Crecimiento tejidos,
organización celular, evolución de poblaciones.
Matemáticas: Convergencia de
métodos numéricos
Música: Composición musical
Geología: Análisis de patrones sísmicos y fenómenos de
erosión geológicas.
Hay dos clases de fractales: matemáticos y naturales (al azar). Los
fractales encontrados en la naturaleza tiene una característica adicional: Son
formados por procesos aleatorios. Como ejemplo, se pueden nombrar: los rayos,
los deltas de los ríos, los sistemas de raíces, en
el brócoli, la coliflor, los helechos, las líneas costeras del Pacífico
y más.
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