SOLECITO: FRACTALES

¿Qué es un fractal?

Es una figura espacial o plana, cuya estructura se repite a diferentes escalas, formada por componentes infinitos producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria.

La geometría fractal fue descubierta alrededor del año 1970, por el matemático polaco Benoit Mandelbrot. El estaba fascinado con los complejos patrones que veía en la naturaleza, pero no los podía describir por medio de la geometría euclídea: las nubes no eran esféricas, las montañas no eran conos, las líneas costeras no eran círculos. Entonces desarrolló el concepto y lo denominó "fractal", a partir del significado en latín de esta palabra, que encontró en un libro de texto de su hijo. Fractal significa "fracturado, fragmentado o quebrado".

De esta manera Benoit Mandelbrot propone la palabra fractal para designar esa clase de formas y figuras que llaman la atención por la extraordinaria fragmentación y sinuosidad de sus formas que se repiten a distintas escalas. Además menciona que los fractales pueden presentar tres clases diferentes de autosimilitud (que significa que un mismo patrón se encuentra una y otra vez):

Autosimilitud exacta, el fractal resulta idéntico a cualquier escala.
Cuasiautosimilitud, con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas;
Autosimilitud estadística, el fractal debe tener dimensiones estadísticas o de número que se conserven con la variación de la escala.

Algunas otras características de los fractales son:

Su dimensión fractal, que describe la relación entre los segmentos y la totalidad. Entre más cercano esté la forma de un fractal a una línea (dimensión 1), a un plano (dimensión 2) o a un objeto tridimensional, más cercano estará la dimensión fractal al número entero que describe su forma.
Su área es finita (tiene límites) pero su longitud es infinita (no tiene límites).
Son recursivas. A medida que vamos observando detalles más y más pequeños nos encontramos con los patrones que teníamos al principio pero a escala menor.

FRACTALES

Existen dos tipos bien definidos de fractales; los lineales y los no lineales.

Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio en la variación de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractales lineales son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito. El triángulo y la alfombra de Sierpinski y la curva de Koch son ejemplos de fractales lineales.

La curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de curva de longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Se parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en tres intervalos iguales, construir un triángulo equilátero sobre el intervalo central y suprimir la base de dicho triángulo, como indica la figura. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el proceso infinitas veces. La curva de Koch es la curva a la que se van aproximando las sucesivas poligonales que resultan en cada paso.

El triángulo de Sierpinski fue ideado porWaclaw Sierpinski en 1915.

Se parte de un triángulo equilátero de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en cuatro triángulos equiláteros iguales (lo que se consigue uniendo los puntos medios de los lados) y eliminar el triángulo central, es decir nos quedamos con los tres triángulos equiláteros de los vértices. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los tres triángulos obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso infinitas veces, obteniendo como resultado final el triángulo de Sierpinski.

Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un término proveniente de la matemática Caótica, distorsiones no lineales. La mayoría de los objetos fractales puramente matemáticos y naturales son no lineales. Ejemplos de ellos son: el súper conocido Conjunto de Mandelbrot o el Conjunto de Julia.

El fractal que yo elegí para presentar y realizar mi objeto con dicha imagen fractal impresa fue un biomorfo.

Los biomorfos fueron creados por Clifford Pickover (hacia 1986) a partir de un error de tecleado y Richard Dawkins combino parámetros en sus modelos de simulación. Los modelos de Dawkins producen formas seudobiológicas genéricas, con estructura de monigotes lineales; las funciones de Pickover resultan en organismos unicelulares identificables: vorticellas, algas verdes, tripanosomas, foraminíferos, plasmodios, diatomeas; los fractales de este género se conocen como biomorfos y constituyen una variante de los conjuntos de Julia.

Los biomorfos se generan mediante la iteración de funciones complejas. La generación de estas formas barrocas es sencilla: partimos de una función iterativa, al estilo de:

f (z_n) = z_n+1= z³_n+ c ,

donde z es una variable compleja y c una constante compleja.

Escogemos una región del plano complejo y tomamos cada punto de esta región como semilla inicial z_opara iterar. Lo iteramos, por ejemplo, 150 veces con función. A cada iteración controlamos si el módulo del nuevo z excede en algún momento, por ejemplo, el valor 100. Si esto ocurre, dejamos de iterar la función inmediatamente y guardamos el valor complejo z₀ (el punto del plano) junto con su z alcanzado con el grupo de puntos iniciales que "se pasan". Si no ocurre, nos quedamos con el valor de z después de 150 iteraciones asociado a z₀.

Conocido el valor de z, pintamos en función del valor absoluto de su parte real e imaginaria: si alguna de ellas excede el valor 100 o es igual, pintamos z₀ como un punto blanco, en caso contrario lo pintamos en negro. Una vez hallada la criatura, basta acotar más su zona (aumentar zoom) y dibujar mejor sus detalles (aumentar paso) para obtener una imagen más espectacular.

La aplicación de los fractales es muy amplia, en multitud de áreas:

Comunicaciones: Modelado del tráfico en redes

Informática: Técnicas de compresión (audio y vídeo)

Infografía: Paisajes fractales y otros objetos

Biología: Crecimiento tejidos, organización celular, evolución de poblaciones.

Matemáticas: Convergencia de métodos numéricos

Música: Composición musical

Geología: Análisis de patrones sísmicos y fenómenos de erosión geológicas.

Hay dos clases de fractales: matemáticos y naturales (al azar). Los fractales encontrados en la naturaleza tiene una característica adicional: Son formados por procesos aleatorios. Como ejemplo, se pueden nombrar: los rayos, los deltas de los ríos, los sistemas de raíces, en

el brócoli, la coliflor, los helechos, las líneas costeras del Pacífico y más.