En sus cinco postulados
Euclides propone:
- Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
- Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
- Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.
- Todos los ángulos rectos son iguales.
- Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.
De estos postulados podemos
deducir que la suma de los ángulos
de un triángulo es 180º.
Cabe decir que el quinto postulado es el más complejo es así que surgieron otros enunciados equivalentes a partir de éste como el de John Playfair: “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta”.
El quinto postulado produjo
bastante escepticismo, evasión para su uso y demostración, este problema se
orientó a su negación.
La primera negación: “Por un punto exterior a una recta se pueden trazar
más de una recta paralelas a la dada (infinitas)”. Dicha negación dio lugar al
surgimiento de la geometría hiperbólica. Los pioneros de este razonamiento fueron Saccheri y Gauss, sin embargo, los primeros
matemáticos que publicaron trabajos sobre esta nueva geometría fueron Nikolai
Lobachevsky y Janos Bolyai a principios del siglo XIX, aunque no tuvieron mucha
trascendencia si no hasta mediados de este siglo cuando Beltrami publicó un trabajo que
proporcionó un modelo para la geometría no euclidiana de Lobachevski dentro de
la geometría tridimensional.
El trabajo de Beltrami demostró que la geometría hiperbólica de Lobachevski no era más que la geometría intrínseca de la pseudoesfera, dotando entonces a esta geometría de significado físico.
En la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de un triángulo es menor de 180º.
El trabajo de Beltrami demostró que la geometría hiperbólica de Lobachevski no era más que la geometría intrínseca de la pseudoesfera, dotando entonces a esta geometría de significado físico.
En la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de un triángulo es menor de 180º.
La geometría elíptica por su parte toma
la negación del quinto postulado de Euclides: “Por un punto exterior a una
recta no se puede trazar ninguna recta paralela a la dada” pues fue Riemann, quien consideró una esfera y
la geometría intrínseca a ella, es decir, tomó la esfera como plano.
Las rectas del plano pasan a llamarse geodésicas y son círculos máximos, es decir, circunferencias que dividen a la esfera en dos hemisferios iguales. Por tanto por un punto exterior a una geodésica no pasa ninguna paralela a ella.
En esta geometría elíptica (también llamada esférica) la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180º.
Las rectas del plano pasan a llamarse geodésicas y son círculos máximos, es decir, circunferencias que dividen a la esfera en dos hemisferios iguales. Por tanto por un punto exterior a una geodésica no pasa ninguna paralela a ella.
En esta geometría elíptica (también llamada esférica) la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180º.
OBSERVA EL SIGUIENTE MAPA CONCEPTUAL EN DONDE SE ESQUEMATIZA LA INFORMACIÓN
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