SOLECITO: TESELACIONES

MAURITS CORNELIS ESCHER

M. C. Escher, nació el 17 de junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda). Fue un artista Holandés conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.

Impulsado por su padre se introdujo al mundo de la carpintería y la Arquitectura, sin embargo, poco después descubrió su pasión en las artes gráficas; sus primeras obras tendieron a retratar de forma realista los paisajes y la arquitectura relacionados con la partición regular del plano y el uso de patrones que rellenan el espacio sin dejar ningún hueco.

Una de sus principales características es la dualidad y la búsqueda del equilibrio, la utilización del blanco y el negro, la simetría, el infinito frente a lo limitado, el que todo objeto representado tenga su contrapartida. Bruno Ernst, uno de sus biógrafos y amigos, clasifica sus obras en tres temas y diversas categorías:

La estructura del espacio – Incluyendo paisajes, compenetración del mundo y cuerpos matemáticos.

La estructura de la superficie – Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.

La proyección del espacio tridimensional en el plano – Representación pictórica tradicional, perspectiva y figuras imposibles.

Escher es uno de los más grandes artistas gráficos del siglo XX, «uno de los más reconocibles y admirados por el gran público. Sus más populares obras: figuras imposibles, fondos reticulados con diversos patrones y mundos imaginarios han sido reproducidas en portadas de libros, revistas, campañas publicitarias y en todo tipo de formatos. En 1969 realizó su último traba jo original, serpientes. Falleció el 27 de marzo de 1972. A lo largo de su carrera realizó más de 400 litografías y grabados en madera, y también unos 2.000 dibujos y borradores. Un grupo importante de sus obras está expuesto de forma permanente en el Museo Escher en La Haya, Holanda.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Son las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. La nueva figura se llama "homólogo (a)" de la original y cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo plano.

Las transformaciones se clasifican en:

DIRECTA: el homólogo conserva el sentido del original y se pueden hacer coincidir sin salir del plano.

INVERSA: el sentido del homólogo y del original son contrarios.

También se pueden clasificar de acuerdo con la forma del homólogo con respecto al original en:

ISOMÉTRICAS

El homólogo conserva las dimensiones y ángulos, la transformación conserva las distancias. Puede ser: simetría axial y puntual, rotación y traslación.

SIMETRÍA AXIAL: Una simetría axial de eje “e” es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P’ tal que la recta “e” es mediatriz del segmento PP’. Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara. Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.

ROTACION: Es una transformación geométrica directa, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras; el sentido de rotación puede ser positivo (en contra del sentido horario) o negativo (a favor del sentido horario).

TRASLACIÓN: Es una transformación puntual y directa, por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' también del plano. El punto A' es el punto trasladado de A. Un punto y su trasladado se dice que son homólogos, siendo v→ el vector que define la traslación. En la transformación se mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales deslizan según el vector.

SIMETRÍA PUNTUAL: Una simetría puntual de centro O es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P’ tal que O es el punto medio del segmento PP’. Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo.

ISOMÓRFICAS

El homólogo conserva la forma y los ángulos. Existe proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el original, una de ellas es la homotecia. 

HOMOTECIA: Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos con respecto a otro punto fijo. Una homotecia de centro O y de razón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no pasa por O, a una recta L´, paralela a L. Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes son iguales.

ANAMÓRFICAS

Cambia la forma de la figura original. Una de ellas es la inversión (no la trataremos).

Observa las transformaciones geométricas:

Da clic a este enlace para observar las transformaciones geométricas.

¿QUÉ ES UNA TESELACIÓN?

Tesela (Tile – Tessellation): se define como cada pieza que se utilizaba antiguamente para formar los pavimentos de mosaico. Se traduce Tile como: “azulejo”, “loseta”, “mosaico”, “baldosa”, “losa”, “baldosín”, “teja”. Por lo tanto teselar (Tiling – Tessellate): es la acción de cubrir con azulejos o teselas.

Así, un teselado o teselación^] es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

que no queden huecos
que no se superpongan las figuras

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son los triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos.

La construcción de teselados consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen en veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utilizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con este método. A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños de gran belleza artística.

Aquí puedes observar la construcción de un teselado de Escher a partir de transformaciones geométricas como la rotación y la simetría puntual:

Da clic a este enlace para observar la teselación

Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo

desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas,...

Escher se divirtió teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales...